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第82章（第1页）

智慧闪耀：群里的学霸时刻

在总统府那宽敞明亮的书房里，午后的阳光透过雕花的玻璃窗，洒在木质地板上，形成一片片斑驳的光影。林云坐在书桌前，结束了一上午忙碌的工作，他伸了个懒腰，决定在短暂的休息时间里，看看自己的粉丝群。

林云的手指在手机屏幕上轻轻滑动，点开了那个热闹非凡的粉丝群。群里消息如潮水般不断滚动，大家热烈地讨论着各种话题，从林云在国际外交舞台上的精彩表现，到他在法庭上做出的公正裁决，粉丝们对他的崇拜和喜爱溢于言表。而林云在群里的网名“云宝”，也被大家熟知，尽管身份特殊，但他很享受在这个虚拟世界里，与粉丝们轻松交流的时光。

就在林云饶有兴致地看着群里的聊天记录时，一条消息吸引了他的注意。一位名叫苏然的大学生发了一道数学题，并配上文字：“家人们，这道题我想了好久都没思路，咱们群里有学霸能帮忙解一下吗？这可是我们高等数学课程里超级难的一道题。”

林云定睛一看，题目是这样的：

已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0。证明：存在\xi\in(a,b)，使得f(\xi) + \xi f'(\xi)=0。

这道题对于很多人来说确实颇具难度，一时间，群里安静了下来，之前热闹的讨论氛围被这道难题带来的沉默所取代。就连群主也发了个无奈的表情，表示自己也被难住了。

林云看着题目，嘴角微微上扬，露出自信的笑容。他虽然主要精力放在外交和法律领域，但学生时代扎实的数理基础此刻派上了用场。他起身走到书桌旁，拿起一支笔和一张白纸，准备开始解题。

首先，林云在纸上写下分析思路：“这道题考查的是中值定理的应用，关键在于构造一个合适的辅助函数。”他一边思考，一边在纸上写下辅助函数的构造过程。

设F(x)=x f(x)，林云开始在纸上详细地推导这个辅助函数的性质。

因为f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，而x在实数域内是连续且可导的，根据两个连续且可导函数的乘积仍然连续且可导，所以F(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导。

接着，计算F(a)和F(b)的值。

F(a)=a\times f(a)=a\times0 = 0，F(b)=b\times f(b)=b\times0 = 0，所以F(a)=F(b)。

此时，林云想起了罗尔中值定理：如果函数y = F(x)满足在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点处的函数值相等，即F(a)=F(b)，那么在(a,b)内至少存在一点\xi，使得F'(\xi)=0。

因为F(x)=x f(x)，根据乘积求导法则(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime，对F(x)求导可得：

F^\prime(x)=(x f(x))^\prime = f(x) + x f^\prime(x)。

由罗尔中值定理可知，存在\xi\in(a,b)，使得F^\prime(\xi)=0，即f(\xi) + \xi f^\prime(\xi)=0。